Начало Идеи Дебати Същността на математиката е в нейната свобода
Дебати

Същността на математиката е в нейната свобода

Надежда Димитрова
30.01.2015
3286

Spacetime_curvature

Публикуваме есето на десетокласничката от 128 СОУ „Ал. Айнщайн” в София, с което тя участва в националния конкурс „1000 стипендии”.

В рубриката „Красив ум” публикуваме есета на ученици, отличени в националния конкурс „1000 стипендии” на Фондация Комунитас. В конкурса кандидатите представят под формата на есе знанията и разсъжденията си по предмета, в който се чувстват най-уверени.

Повече за проекта „1000 стипендии” прочетете тук.

Надежда Димитрова  е ученичка от десети клас в 128 СОУ „Ал. Айнщайн” в София. От четири години е стипендиантка на фондация „Комунитас” в област математика. Освен към математиката изпитва страст и към астрономията. Участва в конкурса „1000 стипендии” с есе на тема Същността на математиката е в нейната свобода Георг Кантор.

 

Същността на математиката е в нейната свобода

 

Георг Кантор

В учителската стая бяха останали само двамата учители по математика – г-н Хигс и г-н Грег, които проверяваха класни работи. Чуваха се разочаровани въздишки. В тази задушна атмосфера се зароди дискусия за същността на математиката. Накрая двамата математици заключиха тържествено: „Струва ни се, че математиката е строго ограничена и от собствените си вътрешни правила, и от службата си на останалите науки, но в същността си разполага с пълна свобода.”

– Ето ни тук, сами като затворници. Но и нашата любима математика ни вкарва в един своеобразен затвор – каза Хигс.

– Не съм сигурен, че те разбирам. Аз пък смятам, че същността на математиката е в нейната свобода – отвърна Грег.

– Ей сегичка ще ти обясня. В математиката нещо или е вярно, или е грешно – няма място за творчество. Още от първия учебен ден преподаваме, че има строг ред за извършване на действията и не можем да делим на нула!

Отговор пристигна моментално:

– Ние можем да боравим с различни обекти, действия и понятия, та дори и с несъществуващи такива. Нека допуснем, че има животно мърмъркот. Можем да му придадем качество жълт или червен цвят. Несъществуващите обекти са свободни да имат всякакви свойства, защото не може да се докаже обратното – каза с насмешка Грег и продължи с други интересни наблюдения. – Математиката постоянно се променя. От първобитните сметки с числа ние сме извървели дълъг път до сложни операции като диференциране и интегриране. Нютон е въвел математическия анализ, за да се освободи от ограниченията и да опише движението на планетите. Тези промени показват, че математиката е динамична наука, която в същността си е свободна да се развива.

– Но математиката е изградена върху аксиоми и нямаш свободата да ги променяш – контрира бързо Хигс. – От тези недоказуеми твърдения се извеждат точно определени и еднозначни следствия – леми и теореми.

– Обаче въображението играе голяма роля в развитието и разбирането на математиката. Та неевклидовата геометрия[1] е ярък пример как може да променяме аксиоми. Излиза, че математиката ни дава пълна свобода за действие.

Хигс се съгласи с неохота, но избълва нов поток от аргументи за поробващата същност на математиката:

– Много мислители са желали да създадат единна и последователна теория, базирана на метематика и логика, която да е основа на всички други науки. Но според теоремата на Гьодел за непълнотата[2] никоя математическа теория не може да докаже всичко в света. Оказва се, че за различни цели използваме различни „математики”.

Грег се усмихна и каза:

– Тук май си прав. Но твоето твърдение показва, че всъщност ние имаме пълна свобода да избираме какви основи да положим в своите науки. Та къде би могло да има повече свобода?

Хигс отвърна:

– Понякога ми се струва, че математиката се състои само от строги доказателства. Както някой е казал: „Философията е игра с цели и без правила. Математиката е игра с правила и без цели”. Математиката само описва света и търси точно негово отражение – няма свобода да създава. Тя е инструмент, даже слуга, на другите науки. На никого не му трябват „сухи сметки” без тълкувание – например движението на махало, полета на поле или трептенето на струна. Когато използваме математиката да обясним или докажем даден процес, тя бива ограничена от правилата, които го дефинират.

– Не е така. Често чрез нея е предсказвано явление, което впоследствие е доказвано – така е открита планетата Нептун[3]. Всекидневната физика ни ограничава до три измерения, но математиката доказва, че съществуват безброй измерения. Чрез такъв подход Айнщайн извел всеизвестните СТО[4] и ОТО[5]. Ето друг пример: В п-мерно пространство, когато п клони към безкрайност, обемът на куб със страна единица е едно, но този на сфера клони към нула! Когато намалим страната на куба само с 1%, неговият обем също става нула, защото

lim (0.99)n = 0.

n→∞                               

Виж как математически размишляваме за пространството и вселената!

Хигс закима щастливо и се съгласи с всичко. Бяха стигнали до красиво заключение: има и свобода за извършване на метематически действия, и свобода за начините и целите, за които може да я използваме. Всъщност той от самото начало беше на същото мнение като Грег, но просто искаше да чуе тези думи изречени.

–––

[1] Неевклидова геометрия: Лобачевски заменя аксиомата за успоредните прави на Евклид с твърдението, че в равнината през точка, нележаща на дадена права, минава повече от една права, която не пресича дадената права. Въз основа на това твърдение той изгражда нова геометрия, коренно различна от евклидовата.

[2] Теоремата на Гьодел за непълнотата описва математически невъзможността за изразяване на цялата истина за дадена предметна област с формални средства.

[3] Планетата Нептун била открита на 23 септември 1846 г. и е първата планета, чието съществуване е доказано чрез математически изчисления, а не от емпирични наблюдения.

[4] Специалната теория на относителността (СТО) има широк кръг от следствия, които са експериментално потвърдени, като скъсяването на дължините, забавянето на времето, относителността на едновременността и еквивалентността на материя и енергия, изразено с известната формула Е = mс2.

[5] Общата теория на относителността (ОТО) е геометрична теория за гравитацията като свойство на време-пространството.

Надежда Димитрова
30.01.2015

Свързани статии